2008年10月21日 星期二

2008年8月21日 星期四

一路領先的應用

有一個12格的長方形,呈(3列4行)的樣子,將1~12的正整數不重複全部填入12格中,且滿足右方大於左方,上方大於下方,則有幾種排列方法?
解答請參考

2008年6月11日 星期三

有一正立方體,在八個頂點上可選擇放1或-1,而六個面的值取決於它所在的四個頂點的乘積,試問這十四個數的和,所有可能的情形有哪些?

[解] 可能有14 , 6 , 2 , -2 , -4 , -6 , -10 等七種
請參考

2008年5月21日 星期三

用破壞式的方法去討論環狀排列或滾動排列

一般對 n 個相異物之環狀排列數的觀念是將 n 個相異物的直線排列數除以n等於環狀排列數
現在我們想換一個角度來看

請參考

2008年5月13日 星期二

四邊形的面積與Heron公式

定理 (Brahmagupta,628年) :
設ABCD為圓內接四邊形, 四邊為a, b, c, d, 則其面
積為 S = sqrt((s − a)(s − b)(s − c)(s − d))。

註. Brahmagupta 誤以為此公式適用於任何四邊形。事實上, Heron 已指出一般四邊形無法由其四邊唯一決定。

任意四邊形的面積公式的討論推廣到五邊形的情形就已經很困難而且不切實際。

四邊形的面積

2008年5月7日 星期三

四位數中為3之倍數且含有數字6之四位數有幾個 ?

這一題為台中一中91學年度段考試題
四位數中3的倍數有3000個,不含6且為3的倍數有8×9×9×3 = 1944 個
所以四位數中為3之倍數且含有數字6之四位數有幾3000 – 1944 = 1056個
因為不含6且為3的倍數的四位數:
千位數字有8個方法(0與6除外);
百位數字有9個方法(6除外);
十位數字有9個方法(6除外);
個位數字有3個方法;
因為前3個數字的和有3種可能:
(1)若為3的倍數,則個位數字可為0或3或9;
(2)若被3除之餘1,則個位數字可為2或5或8;
(3)若被3除之餘2,則個位數字可為1或4或7;

2008年4月19日 星期六

拋物線的正焦弦長

已知拋物線的焦點(2,2)其上一點(0,5)的切線為y軸
求拋物線的正焦弦長多少?

解答請參考

2008年3月20日 星期四

等周定理

又到了推甄申請第二關的旺季
前幾年台大的第二階段數學試題曾出現等周問題
所以常有學生來問,李吉彬老師整理了一些相關資料,提供大家參考
等周定理內容:周長固定的平面圖形中,以圓的面積最大
等周定理

Google的網頁空間

因為Google的網頁空間每天有流量管制,
有時候無法開啟,必須等候一天,如果遇到這種狀況,
可到我另外兩個網站試一試:
中一中賴老師工作室
Hinet賴老師工作室

2008年2月21日 星期四

各類試題

給準備指考的同學:
(1)基礎數學的複習可以練習1~32回的CF試題,或1~34回的CR試題,
(2)指考模擬試題數甲、數乙都不錯,有問題可以問,如果我沒時間回答,也會有許多同學幫我回答。
(3)歷屆聯考試題也要練習練習。
給高一高二的同學:
我為大家分冊整理許多平時考、段考的練習題,各章節講義內也有許多練習題,這些試題從資優班到普通班都可適用,只要多練習必有收穫。

2008年2月10日 星期日

求數列 1 , 7 , 25 , 63 , 129 , 231 , ......的一般項

1 , 7 , 25 , 63 , 129 , 231 , ......
這是一個階差數列
設 a(1)=1 , a(2)=7 , a(3)=25 , a(4)=63 , a(5)=129 , a(6)=231
b(1)=a(2)-a(1)=6
b(2)=a(3)-a(2)=18
b(3)=a(4)-a(3)=38
b(4)=a(5)-a(4)=66
b(5)=a(6)-a(5)=102

c(1)=b(2)-b(1)=12
c(2)=b(3)-b(2)=20
c(3)=b(4)-b(3)=28
c(4)=b(5)-b(4)=36

發現 c(n)是一個等差數列 c(k)=8k+4
b(k)=b(1)+c(1)+c(2)+...+c(k-1)
可以求出
a(n)=a(1)+b(1)+b(2)+...+b(n-1)
很多數列的問題,用這個方法就可以解決
請參考解答

2008年1月6日 星期日

[2007衛道中學複習考二1~4冊RA336C] 多項式求值

[2007衛道中學複習考二1~4冊RA336C]
若 f(x) 為領導項係數為 1 的實係數四次多項式,
已知 f(2)=3、f(3)=5、f(4)=7,試求 f(-1)+f(7) = ?
[解]:滿足f(2)=3、f(3)=5、f(4)=7的最低多項式為 f(x) = 2x–1
但是f(x)為領導項係數為1的實係數四次多項式,
所以可設 f(x) = (2x–1)×[(1/2)(x-2)(x-3)(x-4)+1]
因此 f(-1) = (-3)×[(1/2)×(-3)×(-4)×(-5)+1] = 87
f(7) = (13)×[(1/2)×(5)×(4)×(3)+1] = 403
所以 f(-1)+f(7) = 490

[2007衛道中學複習考二1~4冊RA336B]複數

[2007衛道中學複習考二1~4冊RA336B]
如果複數 α、β 滿足 |α| = |β|,且α-β=2-i,則 (αβ)/|αβ| = ?
解答

算幾不等式

很棒的算幾不等式的証明

証明:

柯西不等式

柯西不等式的證明
柯西不等式的證明

期望值

若照近年大學指考計分方式,多重選擇題每題8分共有5個選項,其中至少有1選項是正確。每個選項獨立計分,答對得1.6分,答錯倒扣1.6分,整題未作答者不給分也不倒扣,求每題若亂猜之得分期望值為?

解答:期望值為